| 1. | In the modern approach, this is closely related to the definition of affine connections on the frame bundle.
D'un point de vue moderne, cela est étroitement relié à la définition des connexions affines sur le fibré des repères. |
| 2. | The projection onto this subspace is defined by a differential 1-form on the orthonormal frame bundle, the connection form.
La projection sur ce sous-espace est définie par une 1-forme différentielle sur le fibré des repères, la forme de connexion (en). |
| 3. | Hence parallel transport can also be characterized as a way of transporting elements of the (tangent) frame bundle GL(M) along a curve.
Aussi, le transport parallèle peut également être vu comme un moyen de transporter les éléments du fibré des repères (en) (tangent) GL(M) le long d'une courbe. |
| 4. | This enabled the curvature properties of the surface to be encoded in differential forms on the frame bundle and formulas involving their exterior derivatives.
Ceci permet de coder les propriétés de courbure de la surface à l'aide de formes différentielles, et de formules mettant en jeu leurs dérivées extérieures. |
| 5. | The approach of Cartan and Weyl, using connection 1-forms on the frame bundle of M, gives a third way to understand the Riemannian connection.
L'approche de Cartan et de Weyl, utilisant des 1-formes de connexion sur le fibré des repères (en) de M, est encore une autre voie pour définir les connexions riemanniennes. |
| 6. | From this point of view the aff(n)-valued one-form (θ, ω) : T(FM) → aff(n) on the frame bundle (of an affine manifold) is a Cartan connection.
De ce point de vue, la 1-forme à valeurs dans aff(n) (θ,ω) : T(FM) → aff(n) sur le fibré des repères (d'une variété affine) est une connexion de Cartan. |
| 7. | Infinitesimal parallel transport in the frame bundle yields another description of an affine connection, either as a Cartan connection for the affine group Aff(n) or as a principal GL(n) connection on the frame bundle.
Le transport parallèle infinitésimal dans le fibré des repères donne une autre description de la connexion affine, soit comme connexion de Cartan pour le groupe affine Aff(n), soit comme GL(n)-connexion principale sur le fibré des repères. |
| 8. | Infinitesimal parallel transport in the frame bundle yields another description of an affine connection, either as a Cartan connection for the affine group Aff(n) or as a principal GL(n) connection on the frame bundle.
Le transport parallèle infinitésimal dans le fibré des repères donne une autre description de la connexion affine, soit comme connexion de Cartan pour le groupe affine Aff(n), soit comme GL(n)-connexion principale sur le fibré des repères. |
| 9. | Conversely, an affine connection on the tangent bundle determines an affine connection on the frame bundle, for instance, by requiring that ω vanishes on tangent vectors to the lifts of curves to the frame bundle defined by parallel transport.
Réciproquement, une connexion affine sur le fibré tangent détermine une connexion affine sur le fibré des repères, par exemple en demandant que ω s'annule sur les vecteurs tangents aux relevées des courbes dans le fibré des repères définies par le transport parallèle. |
| 10. | Conversely, an affine connection on the tangent bundle determines an affine connection on the frame bundle, for instance, by requiring that ω vanishes on tangent vectors to the lifts of curves to the frame bundle defined by parallel transport.
Réciproquement, une connexion affine sur le fibré tangent détermine une connexion affine sur le fibré des repères, par exemple en demandant que ω s'annule sur les vecteurs tangents aux relevées des courbes dans le fibré des repères définies par le transport parallèle. |
